Gaskinetik

A. Reichert

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Allgemeines Gasgesetz
   2.1 Qualitative Aussagen
   2.2 Experimentelle Herleitung des Gesetzes
     2.2.1 p-V-Gesetz
     2.2.2 V-T-Gesetz
     2.2.3 P-T-Gesetz
     2.2.4 Allgemeines Gasgesetz
   2.3 Einfache statistische Deutung des Gesetzes
   2.4 Zustandsänderungen idealer Gase
     3.4.1 Isotherme Zustandsänderungen
     3.4.2 Isobare Zustandsänderungen
     3.4.3 Isochore Zustandsänderungen
     3.4.4 Adiabatische Zustandsänderungen

3. Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung
   3.1 Einleitung
   3.2 Herleitung der Verteilung
   3.3 Herleitung der Formel für v_m
    3.4 Herleitung der Formel für v_w

4. Anwendungsbeispiele
   4.1 Ausströmungsgesetz von Bunsen
   4.2 Stirlingmotor
     4.2.1 Grundsätzliches
     4.2.1 Experiment
     4.2.2 Theorie
   4.3 Wärmepumpe
     4.3.1 Theorie
     4.3.2 Beispiel

5. Literatur

1. Einleitung

Das Gasgemisch Luft ist allgegenwärtig. Dementsprechend vielfältig und facettenreich sind die Geschichten, die einem die Schüler erzählen, wenn man sie nach Alltagserfahrungen mit Luft bzw. Gasen fragt. Drei Beispiele mögen diese Aussage verdeutlichen. Eine Schülerin berichtete vom Urlaub mit ihren Eltern in den Alpen. Sie hätten zwei Plastikflaschen mit Eistee mit auf einen Berg genommen. Oben angekommen hätten sie ihren großen Durst gelöscht und dann die Flaschen wieder fest verschlossen. Als sie die Flaschen abends im Tal aus dem Rucksack genommen hätten, wären sie ganz zusammengedrückt gewesen. Ein Schüler gab voller Begeisterung folgende Begebenheit zum Besten. Am Tag der offenen Tür hätte er mit seinem Vater die Feuerwehr besucht. Ein Feuerwehrmann hatte einen Metallständer gebastelt, mit dem er Spraydosen wie Raketen in den Himmel geschossen hätte. Sie wären bestimmt 30 m hoch geflogen. Dazu hätte er die Dosen nur mit einem Propangasbrenner erhitzt. Gleichzeitig hätte er aber dringend davor gewarnt, Spraydosen einfach ins offene Feuer zu werfen. Sie könnten dann unkontrolliert durch die Gegend fliegen und schwere Verletzungen verursachen. Ein Schüler erzählte von einem Taucherkurs, den er in den Ferien absolviert hätte. Vor allem habe der Tauchlehrer immer wieder darauf hingewiesen, nicht zu schnell aufzutauchen und beim Auftauchen unbedingt auszuatmen. Sonst könnte die Lunge reißen oder es könnten sich Luftbläschen im Blut bilden, die die Adern verstopfen könnten. Und das könnte lebensgefährlich werden. Beim Versuch, diese Beobachtungen zu erklären, fallen meist Begriffe wie Temperatur, Druck, Wärme, Luftdruck, Ausdehnung von Gasen. Damit ist der Weg gewiesen, sich dem Verhalten von Gasen physikalisch exakt zu nähern. Offenbar besteht für Gase ein gesetzmäßiger Zusammenhang zwischen den physikalischen Größen Druck, Temperatur und Volumen. Und dieses Gesetz gilt es nun herauszufinden und zu erklären.

2. Allgemeines Gasgesetz

2.1 Qualitative Aussagen

Mit einer Reihe einfacher qualitativer Versuche lassen sich die Grundaussagen des allgemeinen Gasgesetzes demonstrieren. Stellvertretend seien hier zwei näher vorgestellt.

Versuch 1:

Versuchsaufbau:
Die Fotos zeigen den Aufbau des Versuches zu Beginn und während des Versuches.

Abb. 1 : zu Beginn des Versuches

Abb.2 : während des Versuches

Durchführung:
Ein schwach aufgeblasener Luftballon wird unter eine luftdicht schließende Glasglocke gelegt. Dann saugt man mit einer Ölpumpe die Luft aus der Glasglocke. Anschließend lässt man wieder Luft unter die Glocke strömen. Statt eines Luftballons kann man auch einen Mohrenkopf verwenden.

Beobachtung:
Der Luftballon dehnt sich scheinbar von alleine aus und zieht sich wieder zusammen.

Erklärung:
Durch das Absaugen der Luft sinkt der äußere Luftdruck auf den Ballon. Der höhere Druck im Innern des Ballons bläst ihn auf. Beim Einströmen der Luft steigt der äußere Druck wieder und drückt den Ballon wieder zusammen.

Folgerung:
Gase dehnen sich bei sinkendem äußerem Druck aus und ziehen sich bei steigendem äußeren Druck zusammen.

Versuch 2:

Versuchsaufbau und Versuchsdurchführung:
Eine leere Sprudelflasche aus Plastik wird für einige Stunden in die Gefriertruhe gelegt. Danach lässt man sie einige Zeit im warmen Zimmer stehen.

Abb. 3: frisch aus der Truhe

Abb.4: nach einiger Zeit

Beobachtung:
In der Truhe schrumpft die Plastikflasche, nach einiger Zeit nimmt sie in der warmen Luft wieder ihre ursprüngliche Form an.

Erklärung:
Die Luft in der Plastikflasche kühlt in der Truhe ab und zieht sich dabei zusammen, in der Wärme dehnt sie sich wieder aus.

Folgerung:
Gase ziehen sich bei sinkender Temperatur stark zusammen und dehnen sich bei Erwärmen stark aus.

Im folgenden Kapitel werden diese qualitativen Ergebnisse durch Versuche quantitativ erfasst.

2.2 Experimentelle Herleitung des Gesetzes

2.2.1 p-V-Gesetz

Versuch 1:

Versuchsaufbau:
Abb.1 zeigt den Versuchsaufbau, mit dem man den quantitativen Zusammenhang zwischen Druck p und Volumen V untersuchen kann.

Abb.1: Herleitung des V-P-Gesetzes

Das Gerät besteht aus einem kleinen Kolbenprober aus Plastik, der in einen Holzklotz eingelassen wurde. Den Kolben bedeckt man mit einer kleinen Metallplatte. Er hat einen Durchmesser von d = 2,17 cm. Die Metallplatte wiegt m_P = 28 g. Sie wird mit Massestücken bis maximal m_G = 5 kg belastet.

Durchführung:
Man stellt auf die Metallplatte verschieden schwere Massestücke und liest jeweils das zugehörige Volumen ab. Dann errechnet man aus der Masse des Wägestückes m_G und der Metallplatte m_P die Gesamtmasse m_ges und mit dem Durchmesser d des Kolbens den Druck auf die eingeschlossene Luft. Den absoluten Druck erhält man, indem man zum Druck der Gewichte PG noch den Luftdruck P_L hinzuaddiert. Ferner misst man mit einem elektrischen Thermometer die Umgebungstemperatur.

Ergebnisse:
Tabelle 1 enthält die Messergebnisse:

Die Temperatur betrug T = 20 °C.

Auswertung:
Für den Druck der Gewichte gilt:

P_G = m_ges*g/(π*d²/4)

mit g als Ortsfaktor. Er beträgt in unseren Breiten

g = 9,81 N/kg.

Der gesamte Druck auf die eingeschlossen Luft errechnet sich dann zu

P = P_G + P_L,

wobei P_L zum Zeitpunkt des Versuches einen Wert von

P_L = 1010 hPa

aufwies. Setzt man alle Angaben in die Gleichungen für den Druck P ein, so entsteht aus der Tabelle 1 folgende Tabelle 2:

Aus der letzten Zeile der Tabelle kann man ablesen, dass das Produkt aus Druck P und Volumen V konstant ist, d.h. V ist antiproportional zu P:

V ~ 1/P.

Somit gilt:

P*V = a (1)

mit a als Proportionalitätskonstante. Dieses Ergebnis bestätigt sich, wenn man die Tabelle 2 mit Excel grafisch auswertet. Abb. 2 enthält die Ergebniskurve.

Abb.2: Druck-Volumen-Gesetz

Die Auswertung liefert für die Proportionalitätskonstante a einen Wert von

a = 23229 hPa*ml
  = 2,33 Nm
  = 2,33 J.

2.2.2 V-T-Gesetz

Versuch 2:

Versuchsaufbau:
Abb.3 zeigt den Versuchsaufbau, mit dem man den quantitativen Zusammenhang zwischen der Temperatur T und dem Volumen V untersuchen kann.

Abb.3: Herleitung des V-T-Gesetzes

Durchführung:
Man füllt den äußeren Mantel des Gerätes mit Wasser, stellt unter den seitlichen Ausfluss ein Becherglas, reguliert über die Schlauchklemme das im Kolbenprober enthaltene Luftvolumen auf V = 60 ml und startet dann die Heizplatte. Da Glas die Wärme schlecht leitet und es daher eine gewisse Zeit dauert, bis die Energie des Wassers das Gas im Kolbenprober erreicht, erwärmt man am besten stoßweise bis ca. fünf Grad unter der gewünschten Temperatur, schaltet die Heizplatte ab, wartet bis die Temperatur nicht mehr steigt und liest dann sie und das zugehörige Volumen ab. Diese Vorgehensweise wiederholt man für alle Messwerte. Um die Versuchsdauer im Unterricht nicht zu lang werden zu lassen, reicht es aus, mit den Schülern drei bis vier Messwerte aufzunehmen. Die restlichen kann man bei Bedarf ergänzen. Man erhält so etwa die folgende Tabelle 3.

Ergebnisse:

Aus der letzten Zeile der Tabelle kann man ablesen, dass der Quotient aus Volumen V und Temperatur T konstant ist, d.h. V ist proportional zu T:

V ~ T.

Somit gilt:

V = b*T (2)

mit b als Proportionalitätskonstante. Dabei muss man allerdings die Temperatur in Kelvin einsetzen. Historisch gesehen war das Ergebnis dieses Versuches der Grund, die Kelvin-Skala als wissenschaftliche Temperaturskala einzuführen. Denn Gase können kein negatives Volumen annehmen.

Abb. 4: Volumen-Temperatur-Gesetz

Dem Nulldurchgang der Ergebnisgeraden in Abb.4 muss also die tiefste mögliche Temperatur entsprechen, eine Hypothese, die sich im nach hinein als vollkommen zutreffend erwiesen hat. Dem absoluten Nullpunkt der Temperatur kommt jedoch mehr theoretische Bedeutung zu, da reale Gase bei dieser Temperatur längst flüssig bzw. fest geworden sind. Somit kann man sich dieser Temperatur experimentell auch nur nähern, sie aber niemals praktisch erreichen. Lord Kelvin hat übrigens in seinen Versuchen den Druck in Abhängigkeit von der Temperatur gemessen hat. Für den Druck gilt jedoch ein ähnliches Gesetz, wie wir noch sehen werden. Auf diesem Ergebnis hat er dann die nach ihm benannte Temperaturskala aufgebaut. Benutzt man dagegen die Celsius-Temperatur, so findet man einen linearen Zusammenhang zwischen Volumen V und Temperatur υ. Somit gilt:

V = b*υ + V₀,

wobei b den gleichen Wert hat wie in Gesetz (2), in dem mit Temperaturangaben in K gerechnet wurde, da Temperaturdifferenzen in beiden Temperaturskalen identische Werte haben. Aus der Steigung der Geraden kann man die Celsius-Temperatur am absoluten Nullpunkt errechnen. Aus der Kurve in Abb.4 ergibt sich eine Steigung b von

b = 0,2075 ml/°C
  = 0,2075 ml/K
  = 2,075*10^-7 m³/K

Der V-Achsenabschnitt beträgt V₀

V₀ = 56 ml.

Für die gesuchte Celsius-Temperatur υ₀ gilt V = 0, also:

0 = b*υ₀ + V₀ oder

υ₀ = -V₀/b = 56 ml/(0,2075 ml/°C)
   = - 270 °C.

Genauere Messungen lieferten einen Wert von

υ₀ = -273,15 °C.

2.2.3 P-T-Gesetz

Versuch 3:

Versuchsaufbau:
Abb.4 zeigt den Versuchsaufbau, mit dem man den quantitativen Zusammenhang zwischen der Temperatur T und dem Druck P untersuchen kann. Man benötigt einen Zweihalsrundkolben mit einem Volumen V = 1 l. Der eine Hals ist mit einem Gummistopfen verschlossen, in dem der Messfühler eines elektrischen Thermometers steckt. An den anderen schließt man den Drucksensor des Messwerterfassungssystems Cassy der Firma Leybold an. Der Rundkolben befindet sich in einem Topf, der als Wasserbad dient und mit einer elektrischen Heizplatte erhitzt wird.

Durchführung:
Man füllt den Topf mit Wasser, stellt unter ihn unter den Rundkolben auf die Heizplatte, startet Cassy und schaltet das elektrische Thermometer und die Heizplatte ein. Jeweils nach 10°C Temperaturerhöhung liest man den Druck ab. Als Referenzdruck benötigt man noch den Luftdruck. Ihn kann man mit einem Barometer ermitteln. Man erhält so etwa die folgende Tabelle 4.

Abb.4: Herleitung des P-T-Gesetzes

Ergebnisse:

Aus der letzten Zeile der Tabelle kann man ablesen, dass der Quotient aus Druck P und Temperatur T konstant ist, d.h. P ist proportional zu T:

P ~ T.

Somit gilt:

P = c*T (3)

mit c als Proportionalitätskonstante. Dabei muss man allerdings wie beim Volumen die Temperatur in Kelvin einsetzen. Der Mittelwert des Proportionalitätsfaktors beträgt:

c = 3,473 hPa/K
  = 347,3 Pa/K

2.2.4 Allgemeines Gasgesetz

Die drei Versuchsergebnisse lassen sich in einem Gesetz zusammenfassen. Dazu muss man einen wichtigen Lehrsatz der Mathematik heranziehen, der besagt: Ist eine Größe, in unserem Beispiel das Volumen, zu zwei anderen Größen proportional, hier der absoluten Temperatur T und dem Kehrwert des Druckes 1/P, so ist sie auch zum Produkt der beiden Größen proportional. Es gilt somit:

V ~ T*1/P oder

V = d*T/P mit

d als Proportionalitätsfaktor. Zwischen ihm und den Konstanten aus den experimentellen Ergebnissen bestehen folgende Zusammenhänge:

d = a/T₀ bzw.

d = b*P₀,

d = c*V₀,

wobei T₀ = 294 K die konstante Messtemperatur beim ersten Versuch, P₀ = 1010 hPa der konstante Druck beim zweiten Versuch und V₀ = 0,001 m³ das konstante Volumen beim dritten Versuch war. Somit erhält man für c aus den drei Versuchen:

d₁ = 2,33 J/294 K
   = 0,00793 J/K bzw.

d₂ = 2,075*10^-7*1,01*10⁵ m³*N/(m²*K)
   = 0,021 J/K bzw.

d₃ = 347,3*0,001 (N*m³/(K*m²)
   = 0,3473 J/K.

Auf den ersten Blick ist das Ergebnis überraschend, denn c ist offensichtlich gar keine Konstante. Das ist in der Tat auch der Fall. Worin liegt nun der Grund für dieses seltsame Ergebnis? c ist nur dann für alle Versuche gleich, wenn man vom gleichen Ausgangsvolumen, also der gleichen Stoffmenge des Gases ausgeht. Wiederholt man nämlich den Versuch zur Abhängigkeit zwischen V und T mit V₀ = 30 ml Luft, so beträgt die Steigung der Kurve nur die Hälfte, denn auch in diesem Falle ist das Volumen erst bei T = 0 K auf V = 0 ml gesunken. Das ist aber nur möglich, wenn der Proportionalitätsfaktor bei halbiertem Ausgangsvolumen ebenfalls auf die Hälfte sinkt. Interessant ist außerdem, dass die Messergebnisse für alle Gase gelten, d.h. auch mit CO₂ oder anderen Gasen erhält man die gleichen Versuchsergebnisse. Es lässt sich daher eine allgemeine Gaskonstante R definieren, für die gilt:

R = c/n

mit n als Stoffmenge des Gases. Die Stoffmenge kann man aus der Dichte und der Molmasse der Luft errechnen. Beide Werte kann man der Literatur entnehmen oder man bestimmt sie experimentell selbst, die Dichte mit einer Gaswägekugel, die Molmasse mit einer Gasmolwaage. Man erhält so bei 20°C folgende Werte:

ρ = 1,2 g/l und

M = 28.9 g/mol.

Für die Stoffmenge gilt

n = m/M = ρ*V/M.

Für Versuch 1 erhält man:

n₁ = (1,2 g/l*0,023 l)/(28.9 g/mol)
   = 9,55*10^-4 mol.

Analog ergeben sich für Versuch 2 und 3:

n₂ = (1,2 g/l*0,06 l)/(28.9 g/mol)
   = 2,49*10^-3 mol

n₃ = (1,2 g/l*1 l)/(28.9 g/mol)
   = 4,15*10^-2 mol.

Für die allgemeine Gaskonstante R folgt daher aus den drei Versuchen:

R₁ = d₁/n₁
   = 0,00793/0,000955 J/(K*mol)
   = 8,30 J/(K*mol)

R₂ = d₂/n₂
   = 0,021/0,00249 J/(K*mol)
   = 8,43 J/(K*mol)

R₃ = d₃/n₃
   = 0,3473/0,0415 J/(K*mol)
   = 8,37 J/(K*mol)

im Mittel also:

R = 8,37 J/(K*mol).

In der Literatur wird ein Wert von

R = 8,31 J/(K*mol)

angegeben. Fasst man alle Ergebnisse zusammen, so gelangt man letztendlich zum so genannten allgemeinen Gasgesetz

V = n*R*T/P

oder

P*V = n*R*T.

Aus diesem Gesetz folgt, dass bei konstantem Volumen V und damit konstanter Stoffmenge n auch P proportional zur absoluten Temperatur T sein muss. Dieses Ergebnis hatte Lord Kelvin in seinen Versuchen erhalten und damit die Einführung der absoluten Temperaturskala begründet (s. Kapitel 2.2.2). Wie man das allgemeine Gasgesetz mit statistischen Überlegungen deuten kann, wird im nächsten Kapitel gezeigt.

2.3 Einfache statistische Deutung des Gesetzes

Der Druck eines Gases auf die Gefäßwände wird durch die Impulsänderung verursacht, die jedes Teilchen bei seiner Reflexion an der Wand erfährt. Das eingeschlossene Gas bestehe aus N Teilchen der Masse m. Die vektorielle Geschwindigkeit eines Teilchens setzt sich aus den Komponenten der drei Raumrichtungen x, y und z zusammen. Trifft ein Teilchen mit dem Geschwindigkeitsbetrag v_x, v_y oder v_z senkrecht auf eine Wand in x-, y- bzw. z-Richtung, so wird es durch den elastischen Stoß betragsmäßig mit der Geschwindigkeit -v_x, -v_y bzw. –v_z reflektiert. Es erfährt also aufgrund des Impulserhaltungssatzes eine Impulsänderung

Δp_x = 2*m*v_x, Δp_y = 2*m*v_y bzw. Δp_z = 2*m*v_z.

Abb.1: Gasatome in einem Quader

Im Zeitintervall Δt treffen diejenigen Teilchen ΔN auf die Wandfläche in x-Richtung, die sich in einem Quader mit der Grundfläche A und der Höhe

h = v_x*Δt,

also im Teilvolumen

ΔV = A*v_xΔt

befinden. Ihr Anteil an der gesamten Zahl N der vorhandenen Gasteilchen im Volumen V beträgt:

ΔN/N = ΔV/V = A*v_x*Δt/V, also

ΔN = N*A*v_x*Δt/V.

Von diesen Teilchen bewegt sich die Hälfte auf die Wand zu, die andere von der Wand weg. Sie übertragen durch ihren Impuls also einen Kraftstoß

F*Δt = 1/2*ΔN*Δp_x

= 1/2*N*A*v_x*Δt*2*m*v_x/V

= N*A*Δt*m*v_x²/V

auf die Wand in positiver x-Richtung. Der Druck P des Gases auf die Gefäßwand entspricht der Kraft F geteilt durch die Fläche. Somit gilt:

P = F/A = N*m*v_x²/V

Da die Bewegungen ungeordnet sind, sind die Geschwindigkeitsquadrate in alle drei Raumrichtungen gleich groß. Somit ist

v_x² = v_y² = v_z² = 1/3*v².

Damit lässt sich der Druck eines Gases auf eine Gefäßwand in beliebiger Richtung berechnen als

P = 1/3(N/V)*m*v² oder

P*V = 1/3(Nm)*v²

    = 2/3*N*1/2*m*v²

    = 2/3*N*E_kin.

Vergleicht man dieses Ergebnis mit dem allgemeinen Gasgesetz, so folgt:

2/3*N*E_kin = n*R*T oder

E_kin = 3/2*R*T/N_A

     = 3/2*k*T (1)

mit

k = R/N_A und

N_A = N/n

N_A nennt man Avogadrosche Zahl. Sie entspricht der Zahl der Teilchen in n = 1 mol eines beliebigen Stoffes. k heißt Boltzmannsche Konstante und hat den Wert

k = R/N_A
  = 1,3805*10^-23 J/K.

Entsprechend den drei Raumrichtungen besitzt jedes Gasteilchen drei voneinander unabhängige Bewegungsmöglichkeiten. Da die Bewegungen ungeordnet sind, wird keine Richtung bevorzugt. Daher entfällt auf das einzelne Teilchen die thermische Energie pro Raumrichtung

E_kin = 1/2*k*T

Mehratomige Gasmoleküle können zusätzlich Drehbewegungen und Schwingungen ausführen. Pro Rotations- und Oszillationsfreiheitsgrad besitzt das Molekül zusätzliche innere Energie, die der obigen Formel entspricht. Die absolute Temperatur erhält durch diese Beziehung eine anschauliche physikalische Bedeutung. Nicht nur der Druck, sondern auch die Temperatur wird durch die ungeordnete Bewegung der Teilchen verursacht. Temperatur und Druck sind Wahrscheinlichkeitsgrößen, die nur bei einer sehr großen Zahl von Teilchen sinnvoll verwendet werden können. Einem einzelnen Atom oder Molekül eine Temperatur zuzusprechen, ist sinnlos. Durch diese Deutung wird auch die Bezeichnung absoluter Nullpunkt der Temperatur verständlich. Da das Geschwindigkeitsquadrat keine negativen Werte annehmen kann, ist E_kin = 0 der kleinste überhaupt mögliche Wert für die kinetische Energie. Damit ist für die Temperatur eine natürliche untere Grenze gegeben, der absolute Nullpunkt. Bei T = 0 K sind die Teilchen in Ruhe. Aus Gleichung 1 erhält man für die Geschwindigkeit eines Atoms oder Moleküls in einem Gas:

v = (3*k*T/m)^1/2.

Für ein Gas aus Silberatomen der Temperatur T = 2300 K ergibt sich:

v = ((3*1,3805*10^-23*2300 J*K)/(107,9*1,66*10^-27 K*kg))^1/2
  = 729,3 m/s.

Otto Stern [1] überprüfte dieses Ergebnis experimentell und erhielt:

v = 675 m/s.

Theoretischer und experimenteller Wert weichen also nicht unerheblich voneinander ab. Warum das so ist, erfahren Sie im nächsten Kapitel.

2.4 Zustandsänderungen idealer Gase

Da im allgemeinen Gasgesetz drei Größen miteinander verknüpft sind, kann ein Gas in einen neuen Zustand übergehen, indem sich zwei dieser drei Größen ändern und die dritte konstant bleibt oder alle drei gleichzeitig einen neuen Wert annehmen. Für das theoretische Verständnis von Vorgängen in Wärmekraftmaschinen sind vor allem Zustandsänderungen von Interesse, bei denen eine der drei Größen ihren Wert behält. Ist die Temperatur konstant, so spricht man von isothermen Vorgängen, bei konstantem Druck von isobaren und bei konstantem Volumen von isochoren Zustandsänderungen. Sie sind jeweils mit einem Energieaus-tausch mit der Umgebung verbunden. Daneben spielen noch adiabatische Änderungen eine Rolle, bei denen sich alle drei Größen ändern, jedoch keine Energie mit der Umgebung ausgetauscht wird. Diese vier Fälle sollen in diesem Kapitel näher untersucht werden. Abb.1 veranschaulicht sie in einem pV-Diagramm. Darin entspricht Linie I einer adiabatischen, Linie II einer isochoren, Linie III einer isothermen und Linie IV einer isobaren Zustandsänderung eines einatomigen Gases.

Abb.1: Zustandsänderungen eines idealen Gases

2.4.1 Isotherme Zustandsänderungen
Da sich die Temperatur während eines isothermen Vorganges (s. Abb.1 III) nicht ändert, bleibt die innere Energie, also die kinetische Energie der Gasmoleküle konstant. Die von der Umgebung aufgenommene Wärme wird also in mechanische Arbeit umgewandelt bzw. die am Gas verrichtete Arbeit wird als Wärme Q an die Umgebung abgeführt. Für die verrichtete Arbeit W und damit für die Wärme Q gilt:

    V₂
W = ∫p*dV
    V₁

    V₂
  = ∫(n*R*T/V)*dV
    V₁

          V₂
  = n*R*T*∫(1/V)*dV
          V₁

  = n*R*T*ln(V₂/V₁).

2.4.2 Isobare Zustandsänderungen
In diesem Falle bleibt der Druck konstant (s. Abb.1 IV). Da sich sowohl die Temperatur als auch das Volumen ändern, wird die mit der Umgebung ausgetauschte Wärme Q zum Teil in mechanische Arbeit W und zum Teil in zusätzliche kinetische Energie E_kin der Moleküle umgewandelt. Es gilt:

Q = W + E_kin

  = pdV + E_kin

  = (n*R*p/p)*dT + (z*N*k/2)*dT

unter Anwendung des allgemeinen Gasgesetzes und der Gleichung für die kinetische Energie eines Moleküls aus Kapitel 2.3. Darin bedeutet z die Zahl der Freiheitsgrade eines Moleküls. Die restlichen Größen haben die übliche Bedeutung.

Mit

N*k = n*N_A*k = n*R

folgt

Q = n*R*dT(1 + z/2).

Einatomige Gase besitzen drei Freiheitsgrade, da sie sich nur in drei Raumrichtungen bewegen können. Für sie gilt daher:

Q = (5/2)*R*n*dT

  = c_p*n*dT,

mit

c_p = (5/2)*R

als molarer Wärmekapazität bei konstantem Druck. Zweiatomige Gase haben zwei zusätzliche Rotationsfreiheitsgrade. Für sie findet man also:

c_p = (7/2)*R.

Dass diese Überlegungen sehr gut mit experimentellen Befunden übereinstimmen, zeigt die folgende Tabelle 1.

Tabelle 1: molare Wärmekapazitäten bei konstantem Druck⁶⁾

Dabei besitzen Argon-, Helium- und Neonmoleküle als einatomige Edelgase drei Freiheitsgrade, Chlorwasserstoff-, Sauerstoff-, Stickstoff- und Wasserstoffmoleküle als zweiatomige Gase fünf Freiheitsgrade und Kohlendioxidmoleküle als dreiatomiges Gas sieben Freiheitsgrade, nämlich drei Translations-, zwei Rotations- und zwei Oszillationsfreiheitsgrade.

2.4.3 Isochore Zustandsänderungen
Bei isochoren Zustandsänderungen bleibt das Volumen erhalten (s. Abb.1 II). Es ändern sich also der Druck und die Temperatur. Weil die Volumenzunahme null ist, wird keine mechanische Arbeit verrichtet. Die zugeführte Wärme erhöht also lediglich die kinetische Energie E_kin der Moleküle. Es gilt somit analog zu den Überlegungen bei isobaren Änderungen (vgl. Kapitel 2.4.2):

Q = n*R*dT*z/2).

Einatomige Gase besitzen drei Freiheitsgrade, da sie sich nur in drei Raumrichtungen bewegen können. Für sie folgt daher:

Q = (3/2)*R*n*dT

  = c_V*n*dT,

mit

c_V = (3/2)*R

als molarer Wärmekapazität bei konstantem Volumen. Zweiatomige Gase haben zwei zusätzliche Rotationsfreiheitsgrade. Für sie findet man also:

c_V = (5/2)*R.

Dass diese Überlegungen sehr gut mit experimentellen Befunden übereinstimmen, zeigt die folgende Tabelle 2.

Tabelle 2: molare Wärmekapazitäten bei konstantem Volumen⁶⁾

Dabei besitzen Argon-, Helium- und Neonmoleküle als einatomige Edelgase drei Freiheitsgrade, Chlorwasserstoff-, Sauerstoff-, Stickstoff- und Wasserstoffmoleküle als zweiatomige Gase fünf Freiheitsgrade und Kohlendioxidmoleküle als dreiatomiges Gas sieben Freiheitsgrade, nämlich drei Translations-, zwei Rota-tions- und zwei Oszillationsfreiheitsgrade. Zwischen der molaren Wärmekapazität bei konstantem Druck c_p und der molaren Wärmekapazität bei konstantem Volumen c_V besteht also folgender Zusammenhang (vgl. Kapitel 2.4.2):

C_p – c_V = R.

2.4.4 Adiabatische Zustandsänderungen
Adiabatische Zustandsänderungen zeichnen sich dadurch aus, dass bei ihnen keine Wärme Q mit der Umgebung ausgetauscht wird (s. Abb.1 I). Da Luft die Wärme schlecht leitet, spielen sich solche Vorgänge häufig in der Atmosphäre ab. Es gilt zunächst grundsätzlich:

Q = W + E_kin,

wobei die Größen folgende Bedeutung haben:

Q: ausgetauschte Wärme,
W: verrichtete Arbeit,
E_kin: Änderung der kinetischen Energie der Moleküle.

Da in diesem Falle Q = 0 ist, folgt:

-W = E_kin.

Setzt man die Werte aus Kapitel 2.4.2 und 2.4.3 ein, so findet man:

-p*dV = n*C_V*dT. (1)

Das Gas kühlt sich also ab, wenn es sich ausdehnt und erwärmt sich bei einer Kompression. Aus der allgemeinen Gasgleichung erhält man für T:

T = p*V/(n*R)

oder nach Differenzierung

dT = p*dV/(n*R) + V*dp/(n*R).

Einsetzen in Gleichung (1) liefert:

-p*dV = c_V*p*dV/R + c_V*V*dp/R.

Umstellen der Gleichung führt zu:

-(1 + c_V/R)*p*dV = c_V*R*V*dp/R.

Multipliziert man mit R/c_V durch, so ergibt sich

-( R/c_V + 1)*p*dV = V*dp (2).

Nach Kapitel 2.4.3 gilt:

C_p – c_V = R oder

C_p/c_V - 1 = R/c_V

und damit

C_p/c_V = R/c_V + 1 = κ.

Das Verhältnis der beiden molaren Wärmekapazitäten wird in der Literatur meist mit κ abgekürzt.

Damit vereinfacht sich Gleichung (2) zu:

-κ*p*dV = V*dp.

Sortieren der Größen p und V führt zu:

-κ*dV/V = dp/p.

Integriert man diese Gleichung, so folgt:

-κ*lnV + c = lnp

mit c als Integrationskonstante.

Potenzieren ergibt:

c*V^-κ = p

oder

c = p*V^κ

bzw.

p*V^κ = c.

Diese Gleichung heißt Adiabatengleichung oder Poisson-Gleichung. Adiabaten verlaufen im pV-Diagramm (s. Abb.1) steiler als Isotherme wegen des Exponenten κ beim Volumen. Bei Isothermen ist ja

p*V = const.

3. Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung

3.1 Einleitung

Behandelt man die Gaskinetik anhand einfacher statistischer Überlegungen (s. Kapitel 2.3) und vergleicht die dabei erhaltenen Werte für die Geschwindigkeiten vm mit den von Stern [1] gemessenen Werten, so stellt man fest, dass die experimentellen Werte um knapp 10 % unter den theoretischen liegen. Irgendeine Annahme der einfachen Gaskinetik muss also zu global sein. Da bei den Geschwindigkeiten Abweichungen auftreten, liegt die Vermutung nahe, dass die Annahme einer gleichen Geschwindigkeit für alle Gasteilchen bei einer gegebenen Temperatur zu einfach ist. Erhärtet wird diese Vermutung, wenn man bedenkt, dass die Gasteilchen ständig von anderen Gasteilchen gestoßen werden, so dass sie immer wieder beschleunigt bzw. abgebremst werden. Die Aufgabe besteht nun darin, die Zahl der Teilchen zu ermitteln, die eine bestimmte Geschwindigkeit besitzen. Gelöst hat als erster diese Aufgabe Maxwell. Im folgenden habe ich versucht, die Ableitung Maxwells [2] so aufzuarbeiten, dass sie in einem Leistungskurs der Klasse 12 oder 13 behandelt werden kann.

3.2 Herleitung der Verteilung

Maxwell geht von der plausiblen Annahme aus, dass sich die Gasteilchen auf den gesamten, zur Verfügung stehenden Geschwindigkeitsbereich von

-∞ < v_x < +∞
-∞ < v_y < +∞
-∞ < v_z < +∞

verteilen.
Die Wahrscheinlichkeit W_x1, Teilchen mit einer Geschwindigkeit in x-Richtung im Intervall v_x1 und v_x1 + Δv_x1 zu finden, ist umso größer, je größer Δv_x1 ist, so dass gilt:

W_x1 ~ Δv_x1 oder
W_x1 = f₁*Δv_x1

mit f₁ als Proportionalitätsfaktor. Den Begriff der Wahrscheinlichkeit führt man an dieser Stelle sinnvoller weise ein, weil sich mit ihm im folgenden besser rechnen lässt als jeweils mit Teilchenzahlen, was auch möglich gewesen wäre. Die Wahrscheinlichkeit gibt ja an, welcher Bruchteil der insgesamt vorhandenen Teilchen eine bestimmte Eigenschaft besitzt, hier also eine bestimmte Geschwindigkeit.
Die Wahrscheinlichkeit, Teilchen in x-Richtung im Intervall v_x2 und v_x2 + Δv_x2 zu finden, ist ebenso um so größer, je größer Δv_x2 ist, so dass auch hier gilt:

W_x2 ~ Δv_x2 oder
W_x2 = f₂*Δv_x2

Die Proportionalitätsfaktoren f₁ und f₂ müssen nicht gleich sein, da sich die Teilchen nicht unbedingt gleichmäßig auf den gesamten Geschwindigkeitsbereich verteilen. Die Faktoren f₁ und f₂ hängen vielmehr von vx1 bzw. v_x2 ab. Allgemein gilt also für die Wahrscheinlichkeit, Teilchen mit einer Geschwindigkeit in x- Richtung zwischen v_x und v_x + Δv_x zu finden:

W_x = f(v_x)*Δv_x. (1)

Für die y- und z-Richtung gelten natürlich ähnliche Überlegungen, so dass gilt:

W_y = f(v_y)*Δv_y. (2)
W_z = f(v_z)*Δv_z. (3)

Gesucht werden: f(v_x), f(v_y) und f(v_z). Denn sie geben an, wie sich die Teilchen für die einzelnen Geschwindigkeitsrichtungen auf das mögliche Geschwindigkeitsintervall verteilen. Dazu überlegen wir zunächst, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, Teilchen im Geschwindigkeitskästchen Δv_x*Δv_y*Δv_z zu finden. Da die Geschwindigkeitsrichtungen nach dem Superpositionsprinzip unabhängig voneinander sind, gilt:

W_xyz = f(v_x)*f(v_y)*f(v_z)*Δv_x*Δv_y*Δv_z. (4)

Diese Aussage lässt sich am besten an einem Beispiel erläutern. Die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel eine eins zu würfeln, ist 1/6. Die Wahrscheinlichkeit, mit einem roten Würfel eine eins und gleichzeitig mit einem blauen Würfel eine zwei zu würfeln, ist 1/36. Denn von 36 möglichen Kombinationen hat nur eine die gewünschte Eigenschaft. Die Reihe lässt sich beliebig fortsetzen. Die Einzelwahrscheinlichkeiten müssen also miteinander multipliziert werden, um die Gesamtwahrscheinlichkeit zu erhalten, wenn zwei voneinander unabhängige Ereignisse gleichzeitig eintreten sollen.
Als nächstes untersuchen wir, wie wahrscheinlich es ist, Teilchen in einem Geschwindigkeitskästchen zu finden, das dem Kästchen mit der Geschwindigkeit v genau gegenüberliegt, dessen Geschwindigkeitsvektor also -v ist. Da in einem Gasbehälter in alle Richtungen der gleiche Druck herrscht, kann diese Wahrscheinlichkeit offensichtlich nur genauso groß sein wie W_xyz. Wäre sie kleiner, so wäre die Zahl der Teilchen mit der Geschwindigkeit -v kleiner und damit der Druck in diese Richtung. Wäre sie größer, wäre auch der Druck entsprechend größer. Es gilt somit:

f(v_x)*f(v_y)*f(v_z) = f(-v_x)*f(-v_y)*f(-v_z). (5)

Das Produkt f(v_x)*f(v_y)*f(v_z) kann daher offenbar nur eine Funktion des Betrages der Geschwindigkeit sein, oder:

f(v_x)*f(v_y)*f(v_z) = F(v). (6)

Aus dieser sehr allgemeinen Gleichung berechnet Maxwell mit Hilfe einiger mathematischer Tricks f(v_x), f(v_y), f(v_z) und damit F(v). Folgende Schritte werden durchlaufen:

a) Logarithmierung von (6) liefert:

ln(f(v_x)*f(v_y)*f(v_z)) = ln(F(v))

b) Differentiation nach v_x ergibt:

f´(v_x)   F´(v)  dv
------ = ---- * ---
f(v_x)    F(v)   dv_x

oder:

f´(v_x)    F´(v)
------- = ----- (8)
v_x*f(v_x)  v*F(v)

da

dv    v_x
--- = --
dv_x   v

wegen

v² = v_x² + v_y² + v_z².

c) Durch Differentiation von (8) nach v_y erhält man:

d   F´(v)      d    f´(v_x)
--- -------- = ---- --------- = 0 (9)
dv_y (v*F(v))   dv_y   v_x*f(v_x))

da die rechte Seite von (8) nicht von vy abhängt.
Aus (9) folgt:

f´(v_x)
------- = const = -2γ1,
v_x*f(v_x)

wobei die Konstante gleich -2γ1 gesetzt wurde, weil sich damit im folgenden besser rechnen lässt.

d) Integration nach v_x und Aufheben des Logarithmus ergibt:

f(v_x) = a₁*exp(-γ₁*v_x²) (10)

mit a₁ als Integrationskonstante.
Die Gleichungen für f(v_y) und f(v_z) lassen sich aus (6) auf die gleiche Art und Weise ableiten. Dazu muss in b) nach vy bzw. v_z differenziert, in c) nach v_x differenziert und in d) nach v_y bzw. v_z integriert werden. Man erhält:

f(v_y) = a₂*exp(-γ₂*v_y²) (11)

f(v_z) = a₃*exp(-γ₃*v_z²) (12)

Es gilt nun, die Konstanten a₁, a₂, a₃, γ₁, γ₂ und γ₃ mit Hilfe einiger physikalischer Überlegungen zu bestimmen. Alle Teilchen besitzen in x-Richtung irgendeine Geschwindigkeit zwischen -∞ und +∞. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in x-Richtung muss daher gleich 1 sein, also:

W_x1 + W_x2 + W_x3 + ... = 1

oder

f(v_x1)*Δv_x1 + f(v_x2)*Δv_x2 + f(v_x3)*Δv_x3 + ... = 1.

Der Übergang von der Summe zum Integral liefert:

+∞
 ∫ f(v_x)dv_x = 1
-∞

Mit einiger recht schwieriger Mathematik, die sie in [2] nachlesen können, folgt:

     (γ₁)^1/2
a₁ = ------- (13)
      π^1/2

Die gleichen Überlegungen gelten natürlich auch in y- und z-Richtung, so dass:

     (γ₂)^1/2
a₂ = ------- (14)
      π^1/2

     (γ₃)^1/2
a₃ = ------- (15)
      π^1/2

ist. Wir haben damit die a’s in Abhängigkeit von den γ’s gefunden. Wenn wir also noch die γ’s berechnen, so haben wir gleichzeitig die a’s. Dazu stellen wir folgende Überlegung an. Die mittlere kinetische Energie E_km eines Teilchens ist

E_km = 1/2*m*v_m2 = 1/2*m*(v_mx2 + v_my2 + v_mz2).

mit v_m2, v_mx2, v_my2 und v_mz2 als mittlere Geschwindigkeitsquadrate.
Nach der Grundgleichung der Gaskinetik gilt andererseits für ein einatomiges Gas:

E_kin = 3/2*k*T,

wie in Kapitel 2.3 erklärt wurde. Maxwell nimmt nun ebenfalls an, dass sich die Energie auf die drei Raumrichtungen gleichmäßig verteilt, so dass die mittlere kinetische Energie in eine der Richtungen 1/3 der Gesamtenergie ist, also

E_kmx = E_kmy = E_kmz = 1/2*m*v_mx² = 1/2*m*v_my² = 1/2*m*v_mz²

     = 1/2*k*T

oder:

v_mx² = v_my² = v_mz² = k*T/m (16)

v_mx² ist aber andererseits definitionsgemäß:

       v_x1²*n₁ + v_x2²*n₂ + v_x3²*n₃ ...
v_mx² = --------------------------- (17)
                    N

Hierin ist n₁, n₂, n₃... die Zahl der Teilchen mit der Geschwindigkeit v_x1, v_x2, v_x3 ... in x-Richtung und N die Gesamtzahl der Teilchen. Die verschiedenen n-Werte lassen sich aus der Wahrscheinlichkeit f(v_x)*Δv_x, mit der v_x auftritt, und der Gesamtzahl der vorhandenen Teilchen nach

n = N*f(v_x)*Δv_x (18)

berechnen. Gleichung (18) jeweils für die verschiedenen Geschwindigkeiten in Gleichung (17) eingesetzt liefert:

v_mx² = v_x1²*f(v_x1)*Δv_x1 + v_x2²*f(v_x2)*Δv_x2 + v_x3²*f(v_x3)*Δv_x3
        + ...

Der Übergang von der Summe zum Integral ergibt:

      +∞
v_mx² = ∫ v_x²*f(v_x)dv_x.
      -∞

Die Grenzen des Integrals bestimmen sich daraus, dass Teilchen mit beliebigen Geschwindigkeiten auftreten können. Die Berechnung des Integrals unter Benutzung der Gleichungen (10) und (13) gestaltet sich recht schwierig [2]. Wir wollen daher nur das Ergebnis angeben:

v_mx² = 1/(2*γ₁) (19)

Aus Gleichung (19) folgt mit Gleichung (16):

γ₁ = m/(2*k*T) (20)

Aus ähnlichen Überlegungen für die y- und z-Richtung ergibt sich:

γ₂ = γ₃ = m(2*k*T) (21)

Die Gleichungen (10), (11) und (12) gehen daher unter Berücksichtigung der Gleichungen (13), (14), (15) und (21) über in:

f(v_x) = (m/(2π*k*T))^1/2*exp(-m*v_x²/(2*k*T)) (22)

f(v_y) = (m/(2π*k*T))^1/2*exp(-m*v_y²/(2*k*T)) (23)

f(v_z) = (m/(2π*k*T))^1/2*exp(-m*v_z²/(2*k*T)) (24).

Die Gesamtwahrscheinlichkeit, Teilchen im Geschwindigkeitsintervall Δv_x*Δv_y*Δv_z zu finden, errechnet sich also nach Gleichung (4) zu:

W_xyz = (m/(2π*k*T))^3/2*
       exp(-m*(v_x² + v_y² +v_z²)/(2*k*T))*Δv_x*Δv_y*Δv_z

     = (m/(2π*k*T))^3/2*exp(-m*v²/(2*k*T))*Δv_x*Δv_y*Δv_z (25)

Die Zahl der Teilchen n’ im Geschwindigkeitskästchen Δv_x*Δv_y*Δv_z beträgt dann, wenn N die Gesamtzahl der Teilchen ist:

n’ = N*W_xyz

   = N*(m/(2π*k*T))^3/2*exp(-m*v²/(2*k*T))*Δv_x*Δv_y*Δv_z (26)

Gemessen werden nur Geschwindigkeitsbeträge. Es interessiert daher der Anteil der Teilchen Δn, die im Intervall v und v + Δv anzutreffen sind. Aus der Abb. 1 folgt unter Berücksichtigung der z-Richtung:

Abb.1: Geschwindigkeitsraum

         V(v + Δv) - V(v)
Δn = n’* ---------------- (27)
           Δv_x*Δv_y*Δv_z

V bezeichnet darin den Geschwindigkeitsraum. Für den Zähler von Gleichung (27) findet man näherungsweise:

V(v + Δv) - V(v) = 4/3π*(v + Δv)³ - 4/3π*v³ ≈ 4π*v²*Δv (28)

wenn man die Faktoren mit höheren Potenzen von Δv vernachlässigt, was erlaubt ist, wenn man Δv möglichst klein wählt. Setzt man die Gleichungen (28) und (26) in Gleichung (27) ein, so erhält man:

Δn = N*(m/(2π*k*T))^3/2*exp(-m*v²/(2*k*T))*4π*v²*Δv (29)

Da andererseits

Δn = N*F(v)*Δv,

ist, erhält man folglich für den in Gleichung (6) gesuchten Proportionalitätsfaktor F(v):

F(v) = (m/(2π*k*T))^3/2*exp(-m*v²/(2*k*T))*4π*v²
     = 4*(1/π)^1/2*(m/(2*k*T))^3/2*exp(-m*v²/(2*k*T))*v²
     = 4/π^1/2*v²/a³* exp(-v²/a²) (30),

worin zur Vereinfachung für die nachfolgenden Überlegungen in Kapitel 3.3 und 3.4

a = (2*k*T/m)^1/2

gesetzt wurde. Die Funktion F(v) gibt an, welcher Anteil Δn der insgesamt vorhandenen Teilchen N Geschwindigkeiten im Bereich v und v + Δv besitzt. Man erkennt, dass sich die Teilchen nicht gleichmäßig auf alle Geschwindigkeiten verteilen, da die Verteilungsfunktion ihrerseits von v abhängt. Stellt man sie mit Hilfe von Excel für verschiedene Temperaturen graphisch dar, so bekommt man die Kurve in Abb. 2.

Abb. 2: Maxwellsche Verteilung für verschiedene Temperaturen

Zwei Besonderheiten fallen bei steigender Temperatur am Kurvenverlauf auf:

1. Das Maximum der Kurve verschiebt sich mit steigender Temperatur zu höheren Geschwindigkeiten. Die kinetische Energie der einzelnen Teilchen nimmt also zu, wie auch schon in Kapitel 2.3 erläutert.
2. Die Kurve verläuft insgesamt flacher. Die Anzahl der Teilchen mit höheren Geschwindigkeiten wird prozentual größer. Die mittlere kinetische Energie aller Teilchen steigt also ebenfalls.

Eine genaue Überprüfung des Kurvenverlaufes ist mit schulischen Mitteln nicht möglich. Sie wurde 1955 zum ersten Mal von Miller und Kusch mit Thalliumatomen durchgeführt.

Abb. 3: Versuchsaufbau von Miller und Kusch [3]

Abb. 3 zeigt den von ihnen verwendeten Versuchsaufbau. Im Ofen O wird Thalliumdampf mit Temperaturen um 900 K erzeugt. Er verlässt ihn bei S in einem feinen Strahl. Im Zylinder R befinden sich feine Rillen. Bei passender Geschwindigkeit eines Thalliumatoms läuft es bei einer bestimmten Rotationsgeschwindigkeit ω des Zylinders exakt einer solchen Rille entlang und wird vom Detektor D registriert. Anderenfalls wird es an den Rändern der Rillen verschluckt. Mit Hilfe des Drehwinkels Φ des Zylinders während des Fluges erhält man für die Geschwindigkeit eines Teilchens

v = l*ω/Φ

mit l als Länge des Zylinders.
Ihre Ergebnisse stimmen sehr gut mit folgender Geschwindigkeitsverteilung (s.Abb.4) [5] überein.

F(v) = 4/π^1/2*v³/a³*exp(-v²/a²) (31).

Abb. 4: Ergebniskurve von Miller und Kusch

Diese Funktion unterscheidet sich um den Faktor v von der von Maxwell abgeleiteten. Miller und Kusch erklären diese Diskrepanz damit, dass im Strahl eine etwas andere Verteilung der Geschwindigkeiten herrsche als im Ofen. Atome mit höherer Geschwindigkeit verlassen den Ofen nämlich mit größerer Wahrscheinlichkeit als Teilchen mit kleinerer Geschwindigkeit. Für sie ist nämlich die Häufigkeit, mit der sie das Loch treffen, größer. Da die Trefferquote proportional zu v ist, ergibt sich insgesamt die Verteilung in Gleichung (31).
Für die Schule hat die Firma Phywe ein Modell entwickelt, mit dem sich der Kurvenverlauf qualitativ demonstrieren lässt.

Abb.5: Modellversuch von Phywe

Die Abb.5 zeigt dieses Modell. Über einen Motor werden in einer flachen Kammer kleine Kugeln durch eine Rüttelplatte in heftige Bewegungen versetzt. Sie heben dabei einen Stempel hoch. Übersteigt der Stempel eine gewisse Höhe, so gibt er in der Seitenwand eine Lochblende frei. Durch sie können Teilchen mit einer Geschwindigkeit in horizontaler Richtung die Kammer verlassen. Vor die Blende wird eine Filterkammer mit Ringsektoren gesetzt. Damit während des Versuches ständig gleiche Bedingungen herrschen, müssen laufend so viele Kugeln nachgefüllt werden, wie Kugeln die Kammer durch die Blende verlassen. Die Kugeln, die in die einzelnen Sektoren fallen, sammeln sich in einer darunter befindlichen entsprechend unterteilten Flachkammer und können danach gezählt werden. Da die einzelnen austretenden Kugeln einen horizontalen Wurf ausführen, kann man ihre Geschwindigkeit aus ihrer Wurfweite nach den Gesetzen des horizontalen Wurfes gemäß der Gleichung

v = w*(g/2*h)^1/2.

errechnen. Darin ist w die Wurfweite einer einzelnen Kugeln und h ihre feste Fallhöhe h = 0,08 m. Man erhält damit die Kurve in Abb.6.

Abb.6: Ergebniskurve des Modellversuches

Die einzelnen Messpunkte (Dreiecke) liegen recht gut auf der theoretischen Kurve (durchgezogene Linie) der Maxwellschen Verteilung nach Abb. 2. Die Messwerte stellen die Summe aus mehreren Versuchsreihen dar, wobei insgesamt N₀ = 1340 Kugeln registriert wurden.
Es bleibt die Frage, welche Geschwindigkeit die Teilchen im Mittel haben und was die wahrscheinlichste Geschwindigkeit ist. Diesen Fragen wollen wir uns in den nächsten Kapiteln zuwenden, um damit das Ergebnis von Stern deuten zu können.

3.3 Herleitung der Formel für v_m

Für die mittlere Geschwindigkeit vm gilt definitionsgemäß:

     v₁*Δn₁ + v₂*Δn₂ + v₃*Δn₃ ...
v_m = --------------------------- (1)
                 N

Hierin ist Δn₁, Δn₂, Δn₃... die Zahl der Teilchen mit der Geschwindigkeit v₁, v₂, v₃ ... und N die Gesamtzahl der Teilchen. Für die einzelnen Δn’s ergibt sich jeweils nach den Überlegungen in Kapitel 3.2

Δn = N*F(v)*Δv (2)

Setzt man Gleichung (2) für die einzelnen Geschwindigkeiten in Gleichung (1) und geht von der Summe zum Integral über, so ergibt sich:

     ∞
v_m = ∫ v*F(v)dv.
     0

Die Grenzen des Integrals bestimmen sich daraus, dass der Betrag der Geschwindigkeit Werte von 0 bis ∞ annehmen kann. Mit F(v) aus Kapitel 3.2 erhält man also

     ∞
v_m = ∫ (m/(2π*k*T))^3/2*exp(-m*v²/(2*k*T))*4π*v³dv.
     0

Die Auswertung des Integrals gestaltet sich mathematisch recht schwierig [1]. Wir wollen daher nur das Ergebnis mitteilen. Es lautet:

v_m = ((8*k*T)/(π*m))^1/2.

Die vereinfachte Grundgleichung der Gaskinetik liefert für v_me (s. Kapitel 2.3).

v_me = ((3*k*T)/m)^1/2 = 1,08*v_m.

Setzt man die Werte des Versuches von Stern [1] in diese Gleichungen ein, so erhält man mit

T = 2300 K
m = 107,9*1,67*10^-27 kg (Ag-Atome)
k = 1,38*10^-23 J/K

v_m = 670 m/s und
v_me = 727 m/s.

Stern erhielt bei seinen Messungen einen Mittelwert von

v_m = 675 m/s.

Die nach der exakten Theorie erhaltenen Werte für v_m liegen damit in der Tat um knapp 10% unter den Werten der vereinfachten Theorie (s. Kapitel 3.1) und stimmen mit den Messwerten von Stern [1] sehr gut überein.

3.4 Herleitung der Formel für v_w

Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit ist die, die am häufigsten auftritt. Sie entspricht dem Maximum der Verteilungsfunktion F(v) (s. Kapitel 3.2 Gleichung (30)). Um sie zu erhalten, muss man daher zunächst die erste Ableitung dieser Funktion bilden und diese gleich null setzen. Sie lautet:

dF(v)/dv = 8/π^1/2*v_w/a³*exp(-v_w²/a²)*(1 - v_w²/a²) = 0 (1)

Dieser Ausdruck kann nur null sein, wenn der Faktor in der Klammer null ist. Somit gilt:

v_w = a = (2*k*T/m)^1/2 (2)

Für die Thalliumatome aus dem Versuch von Miller und Kusch betragen sie mit

T₁ = 870 K und
T₂ = 944 K

v_w1 = (2*1,38*10^-23J/K*870K/(204,4*1,67*10^-27kg))^1/2
    = 265 m/s und

v_w2 = 276 m/s.

Gemessen haben Miller und Kusch [3] aber

v_w1 = 376 m/s und
v_w2 = 395 m/s.

Für die Diskrepanz zwischen Theorie und Experiment habe ich keine Erklärung gefunden. Allerdings deutet alles auf einen systematischen Fehler im Versuch von Miller und Kusch hin, da in beiden Verteilungen (30) und (31) die Lage der Maxima übereinstimmt (s. Kapitel 3.2).
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass man für die Gasteilchen offensichtlich zwischen drei verschiedenen Geschwindigkeiten unterscheiden muss:

1. der wahrscheinlichsten Geschwindigkeit v_w
2. der mittleren Geschwindigkeit v_m und
3. der Wurzel des mittleren Geschwindigkeitsquadrates
   (v_m²)^1/2.

Wie kommt es dazu? Die wahrscheinlichste und die mittlere Geschwindigkeit sind nicht identisch, da der Kurvenverlauf nicht zu v_w symmetrisch ist. (s. Kapitel 3.2). Die Wurzel aus dem mittleren Geschwindigkeitsquadrat leitet sich dagegen aus der mittleren Energie eines Gasteilchens her. Zwischen diesen drei Geschwindigkeiten besteht folgender Zusammenhang

v_w < v_m < (v_m²)^1/2,

da gilt:

v_m = (8/2π)^1/2*v_w = 1,129*v_w und

(v_m²)^1/2 = (3/2)^1/2*v_w = 1,224*v_w.

4. Anwendungsbeispiele

4.1 Ausströmungsgesetz von Bunsen

Um die grundsätzlichen Überlegungen der Gaskinetik auch im schulischen Bereich im Realexperiment demonstrieren zu können, bietet sich das Ausströmungsgesetz von Bunsen an. Die Idee zu diesem Experiment findet man in [4].

Versuch 1: Ausströmungsgesetz von Bunsen

Geräte:
1 leichtgängiger Kolbenprober mit Hahn
1 Stativ
1 Klemme
1 Stoppuhr
1 3 cm langes Glasrohr Φ etwa 1 cm
1 kleines Stück Gummischlauch, passend zum Ansaugrohr des Kolbenprobers und zum Glasrohr
1 kleines Stück Alufolie
etwas Kleber
1 sehr dünne Nähnadel
verschieden Gase
evtl. eine Gasmolwaage

Aufbau:
Den Aufbau zeigt Abb. 1.

Abb. 1: Versuchsaufbau

Durchführung:
Zunächst verklebt man das eine Ende des Glasrohres mit der Alufolie. In die Folie sticht man mit der Nadelspitze ein sehr feines Loch. Das Loch sollte nur so groß sein, dass 60 ml Luft in ca. 25 s ausströmen. Man füllt nun den Kolbenprober mit ca. 100 ml Gas, verschließt den Hahn und spannt den Prober ins Stativ ein (s.Abb.1). Dann setzt man das Schlauchstück mit der Düse auf, nimmt die Stoppuhr in die linke Hand und öffnet den Hahn. Wenn das Gas bis zur 80 ml Marke ausgetreten ist, startet man die Uhr und stoppt sie, wenn der Kolben die 20 ml Marke erreicht. Man führt den Versuch mit Wasserstoff, Stadtgas, Stickstoff, Luft, Sauerstoff und Kohlendioxid durch. Zur Kontrolle sollte man für Stadtgas und Luft noch die Molmasse ermitteln mit einer Gasmolwaage oder einer Gaswägekugel. Die Molmassen der anderen Gase kann man einem Chemiebuch entnehmen.

Ergebnisse:
Man erhält folgende Tabelle 1, wobei die Werte für t_A Mittelwerte aus jeweils fünf Messungen sind.

Trägt man in einem Diagramm t_A gegen die Wurzel aus der Molmasse M auf, so erhält man die Kurve in Abb.2.

Abb. 2: Ergebnisse des
Ausströmungsversuches

Aus der Kurve erkennt man sofort, dass die Ausströmzeiten sich proportional zur Wurzel aus der Molmasse der Gase verhalten.

Theorie:
Wie lässt sich dieses Ergebnis mit gaskinetischen Überlegungen erklären? Nach Maxwell sind alle drei Raumrichtungen gleich gewichtig. Außerdem spielt die Richtung der Bewegung keine Rolle (s. Kapitel 3.2). Daher fliegen zu jeder Zeit 1/6 der insgesamt vorhandenen Gasmoleküle N in Richtung auf die Wand, die im Versuch mit der Austrittsdüse verschlossen ist. Der Faktor ist allerdings nur dann genau 1/6, wenn man von einem würfelförmigen Gefäß ausgeht. Aber auch für den Kolbenprober ergibt sich ein konstanter Faktor und das ist für die folgenden Überlegungen entscheidend. Von den Teilchen, die in Richtung Wand fliegen, erreichen in der Zeit Δt

N’ = 1/6*N*V’/V₀ (1)

diese Wand, wobei für V’ gilt: (s. Kapitel 2.3)

V’ = A*vm*Δt.

Hierin bedeuten:

A: Querschnitt des Kolbenprobers
v_m: mittlere Geschwindigkeit der Gasteilchen
V₀: gesamtes Gasvolumen.

Austreten können aber nur die Gasteilchen N’’, die das Loch der Austrittsdüse treffen. Für sie gilt mit A₁ als Querschnitt des Loches:

N’’ = N’*A₁/A = 1/6*N*v_m*Δt*A₁/V.

Wenn alles Gas ausgeströmt ist, so ist N’’= N, V = V₀ und Δt = t_A mit t_A als Ausströmzeit. Es folgt daher:

t_A = 6*V₀/(A₁*v_m) (2).

Nach den Überlegungen aus Kapitel 3.3 gilt aber für v_m:

v_m = (8*k*T/(π*m)^1/2 (3).

Andererseits ist:

m = M/N_A (4)

mit N_A als Avogadrokonstante. Setzt man die Gleichungen (3) und (4) in Gleichung (2) ein, so erhält man:

     6*V₀*π^1/2*M^1/2
t_A = -------------- = c*M^1/2 (5)
     A₁*(8*N_A*k*T)^1/2

da alle Größen außer der Molmasse während des Versuches konstant gehalten werden. Nach der Theorie müssten folglich die Ausströmzeiten proportional zur Wurzel aus der Molmasse sein, was sich im Versuch bestätigt hat.
Um den Proportionalitätsfaktor zu überprüfen, errechnet man mit ihm den Durchmesser des Loches. Zur Kontrolle misst man mit einer Schiebelehre den Durchmesser der verwendeten Nähnadelspitze. Für die Querschnittsfläche A₁ ergibt sich zunächst:

     6*V₀*π^1/2
A₁ = --------------
     c*(8*R*T)^1/2

mit R als allgemeiner Gaskonstante. Für sie gilt:

R = k*N_A.

Die einzelnen Größen haben folgende Werte:

V₀ = 60 ml = 6*10^-5 m³
c = 155,7 s*mol^1/2/kg^1/2 (s. Abb. 2)
R = 8,31 J/(K*mol)
T = 293 K

Daraus ergibt sich für A₁

A₁ = 2,94*10^-8 m²

oder für den Durchmesser d der Nadelspitze

d = 2*(A₁/π)^1/2 = 1,93*10^-4 m = 0,193 mm.

Mit der Schiebelehre erhält man für die Spitzen feiner Nähnadeln Durchmesser zwischen ca. 0,2 mmm und 0,3 mm, wobei eine genaue Kontrolle sehr schwierig ist, da man nicht weiß, wie tief man die Nadel in die Alufolie gestoßen hat. Theorie und Experiment stimmen also im Rahmen der Messgenauigkeit durchaus zufriedenstellend überein.
Interessant ist übrigens noch der Einfluss des Druckes auf die Ausströmzeit. Laut Gleichung (5) sollte t_A unabhängig vom Druck sein. Wie kommt das? Will man den Druck des Gases erhöhen, wobei man das Volumen V₀ konstant hält, so gelingt dies nur, wenn man die Anzahl der Gasteilchen erhöht. Dadurch steigt aber auch ihre Dichte und damit die Trefferquote auf das Loch der Austrittsdüse. Es treten damit in der gleichen Zeit mehr Gasteilchen aus, so dass die Ausströmzeit insgesamt gleich bleibt. Erhöht man dagegen den Druck, wobei man die Stoffmenge des Gases beibehält, so sinkt das Volumen und damit nach Gleichung (5) die Ausströmzeit. Durch den höheren Druck bei gleichem Volumen steigt die Teilchendichte und damit die Trefferquote auf das Loch der Austrittsdüse. Es treten mehr Teilchen pro s aus. Somit sinkt die Ausströmzeit. Der Druck hat also nur einen indirekten Einfluss auf die Ausströmzeit und taucht folgerichtig in Gleichung (5) nicht auf.

4.2 Stirlingmotor

4.2.1 Grundsätzliches
Ausgenutzt werden die Gasgesetze im Heißluftmotor. Er wurde im Jahre 1816 dem schottischen Pfarrer Robert Stirling patentiert. Er war wesentlich sicherer als die damals üblichen Dampfmaschinen, die zuweilen explodierten und dabei immer wieder Arbeiter töteten oder schwer verletzten. Da der Stirlingmotor, wie er nach seinem Erfinder auch genannt wird, nicht sehr leistungsstark ist, wird er heute nur noch wenig eingesetzt, etwa in U-Booten oder in Kühlern von Kryoanlagen und Hochleistungsinfrarotnachtsichtgeräten. Neueste Entwicklungen nutzen ihn zum Antrieb von Stromgeneratoren mit Sonnenenergie als Wärmequelle.
Der Stirlingmotor besitzt ein oder zwei miteinander verbundene Zylinder mit zwei Kolben, einem Arbeitskolben und einem Verdrängerkolben (s. Abb.1 bis 5). Beide bewegen sich um etwa 90° phasenverschoben, technisch realisiert durch zwei Excenterscheiben, deren Anschlussstifte um ca. 90° verdreht sind. Dabei ist der Verdrängerkolben mit einem Nylonfaden an einer der beiden Scheiben aufgehängt, während der Arbeitskolben über eine starre Verbindung an der anderen Scheibe befestigt ist. Damit er sich frei bewegen kann, ist der Arbeitszylinder über einen Gummischlauch flexibel mit dem Heißluftzylinder verbunden (s. Abb.1)

4.2.2 Experiment
Die Abb.2 - 5 zeigen die vier Takte des Modell-Stirlingmotors der Firma Elwe. Zum Heizen dient eine Spannungsquelle mit U = 12 V. Alternativ kann man auch zwei Teelichter unter die Bodenplatte stellen, die als Heizquelle dient. Das Kältereservoir bildet die geschwärzte Deckplatte des Zylinders.

In Takt I (s. Abb.2) gibt die Heizung Wärme an die Luft im unteren Teil des Zylinders ab, die sich bei der Temperatur T_H ausdehnt und den Arbeitskolben nach oben drückt. Der blau-rot gestreifte Verdrängerkolben kühlt sich und die Luft derweil am Kältereservoir ab und hält somit die Temperatur konstant.

In Takt II (s. Abb.3) bewegt sich der Verdrängerkolben nach unten. Er nimmt Wärme von der heißen Luft auf, die sich dadurch auf T_T abkühlt. Der Arbeitskolben verharrt an seinem höchsten Punkt.

In Takt III (s. Abb.4) komprimiert der Arbeitskolben bei der Temperatur T_T die Luft im oberen Teil des Zylinders. Das Kühlreservoir führt die dabei produzierte Wärme an die Umgebung ab. Der Verdrängerkolben heizt sich währenddessen durch die Luft und die Wärmequelle weiter auf.

In Takt IV (s. Abb.5) bewegt sich der Verdrängerkolben nach oben und gibt seine Wärme an die abgekühlte Luft im Zylinder ab, die sich daraufhin auf T_H erwärmt. Der Arbeitskolben bleibt in seiner tiefsten Position stehen.

4.2.3 Theorie
Der Stirlingmotor durchläuft einen Zyklus mit vier Takten: (s. Abb. 1 )

• Takt I: isotherme Expansion
• Takt II: isochore Abkühlung
• Takt III: isotherme Kompression
• Takt IV: isochore Erwärmung

Stirlingmotor Takte I - IV

Durch die Expansion des Gases wird in Takt I eine mechanische Arbeit W_I verrichtet. Die dazu benötigte Wärme Q_I wird der Umgebung entzogen. Es gilt nach Kapitel 2.4.1:

W_I = Q_I = n*R*T_H*ln(V₂/V₁)

wobei T_H die Temperatur des Wärmereservoirs ist. Der Druck sinkt dabei auf

p₂ = P₁*V₁/V₂.

In Takt II wird in einem isochoren Prozess Wärme Q_II an die Umgebung abgegeben. Für sie gilt nach Kapitel 2.4.3:

Q_II = c_V*n*ΔT.

mit

ΔT = T_H - T_T.

Darin ist T_T die Temperatur des Kältereservoirs. Der Druck sinkt dabei auf

p₃ = p₂*T_T/T_H.

Durch die Kompression in Takt III wird am Gas die Arbeit W_III verrichtet. Es erwärmt sich. Die Wärme Q_III wird jedoch sofort an die Umgebung abgeführt. Es gilt:

W_III = Q_III = n*R*T_T*ln(V₂/V₁)

wobei T_T die Temperatur des Kältereservoirs ist. Der Druck steigt dabei auf

P₄ = P₃*V₂/V₁.

Im vierten Takt nimmt das Gas in einem isochoren Vorgang die Wärme Q_IV aus der Umgebung auf. Für sie gilt nach Kapitel 2.4.3:

Q_IV = c_V*n*ΔT

mit

ΔT = T_H - T_T.

Sie entspricht somit der in Takt II an die Umgebung abgegebenen Wärme Q_II. Der Druck steigt dabei auf

p₅ = P₄*T_H/T_T

und erreicht damit wieder den Anfangswert p₁ der Periode. Der Kreislauf hat sich geschlossen.

Insgesamt wird in einem Zyklus die mechanische Nutzarbeit W_nutz gewonnen:

W_nutz = W_I - W_III

     = n*R*ln(V₂/V₁)*(T_H - T_T).

Der maximale Wirkungsgrad η des Motors beträgt mit W_auf als insgesamt aufgewendeter Energie

η = W_nutz/W_auf

  = (W_I - W_III)/W_I

  = (T_H - T_T)/T_H

  = 1 - T_T/T_H.

Dabei muss W_I in Form von Wärme dem Motor zur Verfügung gestellt werden. Die Energie W_III wird als nutzlose Abwärme abgeführt. Der Wirkungsgrad kann verbessert werden, indem man T_H erhöht oder T_T bis zum absoluten Nullpunkt absenkt. Reale Stirlingmotoren erreichen diesen maximalen Wirkungsgrad η natürlich nicht, da in ihnen durch Reibung ein Teil der Nutzarbeit in Wärme umgewandelt wird. Bei einigen technischen Stirlingmotoren hat man etwa 50% des maximal möglichen Wertes erzielt.
Bei einem idealen Stirlingmotor würde außerdem keine Entropie mit der Umgebung ausgetauscht. Die Entropien in den Takten II und IV heben sich auf, da in Takt II genauso viel Wärme an die Umgebung abgegeben wie in Takt IV aufgenommen wird. Für die Takte I und III gilt mit S als Entropie:

S_I = Q_I/T_H

   = n*R*ln(V₂/V₁)

und

S_III = Q_III/T_T

    = n*R*ln(V₂/V₁).

Beide sind zahlenmäßig identisch. Die Entropie S_I ist jedoch negativ, da der Umgebung Wärme entzogen wird, während sie in Takt III an die Umgebung abgeführt wird. Insgesamt ist die mit der Umgebung ausgetauschte Entropie ΔS

ΔS = S_III – S_I

   = 0.

Beim realen Motor nimmt die Entropie insgesamt zu, da zusätzliche Wärme aufgrund der Reibung an die Umgebung abgegeben wird.

4.3 Wärmepumpe

4.3.1 Theorie
Betreibt man eine Stirlingmaschine oder einen anderen Motor als Wärmepumpe oder Kühlmaschine, so wird der Zyklus in umgekehrter Richtung durchlaufen (s. Abb.1), beginnend bei Phase III in Abb.1. Beim tieferen Temperaturniveau wird der Umgebung Wärme entzogen und beim höheren Temperaturniveau an die Umgebung abgegeben. Dazu muss ein Motor Arbeit verrichten, denn Wärme strömt nie von alleine von tieferer zu höherer Temperatur. Man hat also folgende Taktfolge:

• Takt I (Abb.1: III): isotherme Expansion
• Takt II (Abb.1: II): isochore Erwärmung
• Takt III (Abb.1: I): isotherme Kompression
• Takt IV (Abb.1: IV): isochore Abkühlung

Als Gütemaß der Maschine definiert man die so genannte Leistungsziffer LZ. Sie bezeichnet den Quotienten aus Nutzenergie E_nutz und insgesamt aufgewendeter Energie E_auf. Für die Wärmepumpe gilt also:

LZ = W_III/(W_III – W_I)

   = T_H/(T_H – T_T),

Für eine Kühlmaschine erhält man:

LZ = W_I/(W_III – W_I)

   = T_T/(T_H – T_T)

Im ersten Falle ist die Nutzenergie die insgesamt an den Raum abgeführte Wärme beim höheren Temperaturniveau, im zweiten die dem kälteren Wärmereservoir entzogene Wärme. In beiden Fällen muss ein Motor die Arbeit W_III- W_I verrichten. Man kann die Leistungsziffern rein theoretisch steigern, in dem man die Temperatur der beiden Wärmereservoirs einander annähert. Dann würde mit sehr geringem Arbeitsaufwand Wärme von einem kälteren Körper zu einem wärmeren gepumpt. Dadurch würden jedoch zugleich ihre Temperaturen immer mehr auseinanderdriften, was ihrerseits wiederum eine Verschlechterung der Leistungsziffer zur Folge hätte.
Für die Entropie gelten bei Kältemaschinen und Wärmepumpen vergleichbare Überlegungen wie beim Stirlingmotor. Nur kehren sich die Vorzeichen der beiden Entropiebeträge um, da nun beim niedrigeren Temperaturniveau der Umgebung Wärme entzogen und beim höheren Temperaturniveau an die Umgebung abgeführt wird. Ihre Summe ergibt aber im Idealfall nach wie vor null, ist bei einer realen Maschine wegen der begrenzten Wirkungsgrade der beteiligten Motoren und Kraftwerke jedoch größer als null.

4.3.2 Beispiel
Zum Schluss möchte ich die Überlegungen an einem praktischen Beispiel erläutern. Moderne Wärmepumpen haben Leistungsziffern zwischen 2,5 und 4 bezogen auf eine Außentemperatur von 10°C und eine Vorlauftemperatur in der Heizung von 40°C.^7),8) Theoretisch möglich wäre unter diesen Bedingungen eine Leistungsziffer von

LZ = 313K/(313K – 283K)
   = 10,4.

Eine reale Wärmepumpe erreicht also nur

P₁ = 2,5*100%/10,4
   = 24%

bzw.

P₂ = 4*100%/10,4
   = 38,5%

des maximal möglichen Wertes. Das liegt vor allem an den begrenzten Wirkungsgraden der beteiligten Komponenten. Heute gebräuchliche Wärmepumpen liefern somit kaum einen oder keinen Beitrag zur Minderung des globalen CO₂-Ausstoßes, da bei der Erzeugung des Stromes in einem Kohlekraftwerk pro Kilowattstunde etwa viermal soviel CO₂ freigesetzt wird wie bei der Verbrennung von Heizöl in einem modernen Brennwertkessel.⁹⁾ Für den bei uns üblichen Strommix aus 60% Kohlestrom und 40% CO₂-freiem Strom aus Atomkraftwerken und regenerativen Energiequellen muss die Leistungsziffer mindestens den Wert 2,4 übersteigen, um im laufenden Betrieb auf eine ausgeglichene CO₂-Bilanz zu kommen. Dabei bleibt allerdings der höhere Energieaufwand bei der Installation der Wärmepumpe unberücksichtigt.
Auch wirtschaftlich sind Wärmepumpen aus heutiger Sicht keine wirklich sinnvolle Alternative zur Ölheizung, wie das folgende Rechenbeispiel zeigt, dass auf einem realen Fall basiert. Dabei nehme ich an, dass der betroffene Haushalt 2200 l Heizöl im Jahr benötigt bei einem Preis von 70 Cent/l. Der Strom für die Wärmepumpe schlägt mit 0,18 Cent/kWh zu Buche. Damit ergeben sich bei einer Leistungsziffer zwischen 2,5 und 4 für eine Wärmepumpe mit Erdkollektoren folgende Werte:

Wärmepumpe:
Errichtungskosten: ca. 30000 €
Heizöl-Kosten: 0 €
Stromkosten: 990 – 1584 € pro Jahr je nach Leistungsziffer
Wartungskosten: ca. 250 € pro Jahr

Ölheizung:
Errichtungskosten: ca. 8000 €
Heizöl-Kosten: 1540 € pro Jahr
Stromkosten: ca. 50 € pro Jahr
Wartungskosten: ca. 120 € pro Jahr.

Damit spart man mit einer Wärmepumpe pro Jahr an Betriebskosten maximal

K = (1540 + 50 + 120)€ – (990 – 250)€
  = 470 €.

Um die Mehrkosten in der Anschaffung amortisieren zu können, müsste die Wärmepumpenheizung im günstigsten Fall mindestens

z = (30000 - 8000)€/470€
  = 47 Jahre

störungsfrei betrieben werden. Wärmepumpenheizungen haben aber nur eine ähnliche Lebenserwartung wie Ölheizungen, nämlich 12- 15 Jahre, wobei auch die Erdkollektoren nach 20 – 25 Jahren erneuert werden müssen. Im ungünstigsten Fall sind die laufenden Kosten bei der Wärmepumpenheizung sogar höher als bei einer herkömmlichen Ölheizung. Wärmepumpen rechnen sich daher weder ökologisch noch ökonomisch. Ökologisch sinnvoll werden sie erst, wenn es gelingt, ihre Leistungsziffer zu verdoppeln, oder wenn der verbrauchte Strom komplett CO₂-frei produziert werden kann, etwa durch solarthermische Kraftwerke in den Wüstenregionen unserer Erde. Aber wirtschaftlich arbeiten sie auch dann noch nicht, da der Strompreis beim Einsatz von Solarstrom eher steigt als sinkt, vor allem, wenn er mit Solarzellen gewonnen wird. Senkt man den Energiebedarf des Hauses durch zusätzliche bauliche Maßnahmen, in dem man die Wände und das Dach besser isoliert, den alten Heizkessel durch einen modernen Brennwertkessel ersetzt und die Fenster gegen solche mit besserem K-Wert austauscht, so wird der Einsatz einer Wärmepumpe vollends unrentabel. Die Kosteneinsparung durch die Wärmepumpe sinkt proportional mit dem Energiebedarf, während die Fixkosten sich kaum ändern. Die Amortisierungszeiten steigen in astronomische Höhen. Vergleichbare Überlegungen gelten für die CO₂-Bilanz. Sie ist immer weniger ausgeglichen und wird rasch negativ.

5. Literatur

[1] Wilfried Kuhn, Physik III Thermodynamik und Statistik, Braunschweig 1971
[2] Arnold Sommerfeld; Vorlesungen über Theoretische Physik Band V Thermodynamik und Statistik, Frankfurt/M. 1977
[3] Halliday Resnick, Physics, Part I&II, New York, London, Sydney 1966
[4] Kemper Fladt, Chemie, Stuttgart 1976
[5] Miller and Kusch, Physical Review, 99, 1314(1955)
[6] Hrsg. Joachim Grehn, Metzler Physik 2. Auflage, Stuttgart 1988
[7] Hrsg. Cornelsen-Verlag, Physik Oberstufe Gesamtband 1. Auflage, Berlin 2008
[8] Bo Hanus, Hausversorgung mit alternativen Energien, Poing 2007
[9] Hrsg. Forschungszentrum Jülich GmbH, Deutsches Zentrum für Luft- und Raumfahrttechnik e.V., Forschungszentrum Karlsruhe GmbH, Christoph Buchal, Energie, Baden-Baden 2007